相对论系列：经典光行差

说到失常，很多人可能觉得很简单，其实不然在人们对光速的认识和狭义相对论的建立过程中，它起到了非常重要的作用所以，那些涉及到畸变的东西，值得深入研究

01.从雨滴到声音

为了便于理解，我们先从一个常见的事情说起。

很多人都有这种人生经历在雨中打伞快速骑行或行走时，为了避免淋湿，伞要向前倾斜一点，就像这样

这涉及到一个简单却深刻的物理问题。

简单说一下，一说就明白了说深刻，是因为它涉及到经典力学中速度的相对性，其基础是经典力学中的时空变换假说——伽利略变换

在地面参考系中，雨滴速度是向下的，如下图，在运动人士看来，雨滴的速度是向后方倾斜的如下图

是地球面对人的速度根据向量的三角形法则，画出来

也向后倾斜。

但是，从雨滴到声音，这个跨度还是有点大！因为前者是弹道物体，后者是波！波本身不是一个物体，而是一种振动状态的传播。

所以，你可能会想，上面提到的雨滴运动的相对性，对于波浪是否也成立。

当然是真的，可以用平面波来说明。

假设一个平面波在垂直方向传播，你在水平方向相对于介质运动既然波的某一部分，比如波峰，相对于介质在垂直方向上运动，那么在你看来，那些波峰又有了一个沿水平方向的分速度，它们的速度方向就变成了斜的

所以，当你盯着某个波峰看的时候，你会发现它走过了一条对角线，而这条线就是所谓的波速的方向，也就是波线！既然波线是倾斜的，那么垂直于它的平面——波面也是倾斜的。因此，在你看来，整个波浪在运动，就好像整个波浪转了一个角度！

所以，无论是波还是物体，比如粒子或者流体，都存在着观测者运动引起的速度方向的变化雨滴也好，声音也好，速度都会变得向后，就像空气中有一股风向后吹，使得雨滴或者声音向后

02.像差的概念和公式

历史上对光的本质主要有两种观点，以牛顿为代表支持粒子说，以罗伯特·胡克和克里斯蒂安·惠更斯为代表支持光的波动说。

如果光被认为是一个运动的弹道粒子，那么根据上述雨滴的图像，自然知道当观察者相对恒星运动时，运动速度在他和恒星之间的直线的垂直方向上有一个分量，他会看到恒星的光偏转的方向。

如果你认为光是一种波，那么情况就有点复杂了因为必须先找到光的介质，否则无法解释光速，也不知道观察者的运动相对于谁

为了解释光波的传播机制，波动理论认为宇宙中存在一种看不见的介质，它给出了光的波速这种物质叫做以太，它和光的关系就像空气和声音的关系

所以，如果把上面例子中的声音换成光，结果也差不多:在以太中向右走的观察者会看到，原来从头顶射出的光现在向后下方倾斜，好像有一股风把光向后吹，这就是所谓的以太风。

顺便说一下，以太不是波动理论的专利牛顿虽然坚持粒子论，但他并不排斥以太，只是他的以太并不提供波速，而是一种充满绝对空间的物质，密度随引力而变化所以支持粒子论的人会经常说以太

总之，不管光是粒子还是波，理论上横向运动的观察者都会看到光偏转的方向。

根据以太波观点，下面给出这个偏转角的计算公式。

l，e，a分别取自光，土，以太的首字母。当恒星在正上方时，光线相对于以太垂直向下，这对应于下面的矢量三角形

，上述速度的矢量三角形为

以上正切值可以通过两者相除得到。

可知的

是的，当我们抬头看星星时，看到的不是它本身，而是它的虚像，比如下图右边的那颗星星。

就是所谓的像差角。

注意，恒星像差和恒星像差本质上是一个意思，只是含义不同前者强调恒星的虚像偏离真实位置，而像差强调恒星的光线偏离原来的方向

。

来代表像差角。

公式形式上是一样的，但是注意:是近似值！

，像差角得到满足。

这是最常用的经典像差公式，本文下面的讨论就是基于这个公式。

得到的光相位差的规律和公式与上述的以太波相同。

因此，上述像差的概念和公式对光涨落理论和光粒子理论都是适用的可是，从理论上讲，两种观点在像差的含义上存在差异，这将在后面讨论

03.布拉德利的观察

根据经典的象差公式，很明显，如果一颗确定处于天顶的恒星的象差角可以测量，那么光在以太中的速度可以如下

这是18世纪英国物理学家詹姆斯·布拉德利测量光速的基础。

起初，布拉德利的主要目标不是测量光速，甚至他当时也不知道像差的存在因为他自己就是畸变的发现者

布拉德利的工作始于1725年他应该观察恒星视差视差是指当从不同的位置观看时，恒星的位置或方向会看起来不同通常以地球轨道半径向恒星张开的角度作为视差，如下图所示

由此可见，恒星视差和恒星像差虽然只有一字之差，但却有着不同的含义但有一个共同点，它们都可以证明地球围绕太阳转的事实，即作为哥白尼日心说的证据，这也是布拉德利最初的研究目标之一

如果我们观察一颗低空的恒星，它的光线是斜向下射的与高空的星光相比，这些星光在大气中的距离更远考虑到地表附近水汽和尘埃较多，星光被大量散射，导致观测误差较大为了尽量减少这个问题的影响，我们应该选择位于天顶的恒星进行观测

布拉德利特意选择了一颗名为γ—龙神的二等星它位于北纬51° 29 '，而伦敦位于北纬51° 30 '，所以当它刚刚扫过子午线时，它位于伦敦的天顶

客户布拉德利设计了一台精密的望远镜，属于天顶望远镜如下图所示，望远镜的主体是一根24.5英尺长的光学管，通过烟囱穿过屋顶

布拉德利望远镜安装在伦敦西南部一个叫邱园的地方的一所房子的内墙上，这个地方离格林威治天文台不远笔者仔细查了一下，这个地方的经度是—0.297954，差不多是本初子午线的位置

望远镜又叫天顶扇区，因为光管位于当地子午线的垂直面上，望远镜的观测范围是子午线上方的一个小扇区换句话说，光管在地面上的投影是平行于子午线的，其倾斜度只能在东西方向无偏准的正上方沿南北方向的子午线微调

这样做的目的是每天只观察子午线上方的那些星星那些星星被观测的时候，尽可能都在天顶

观测者躺在房间的沙发上，通过调节目镜来观测目标星目镜边缘的游标刻度会给出恒星在南北方向的赤纬角

根据上图，由于γ—Dra在黄道面上的方向是向左的，所以从12月到第二年的6月，地球正在向靠近γ—Dra的方向移动，也就是越来越靠近它的右下方，所以γ—Dra的纬度应该是增加的——虽然很弱因此，为了看到它，望远镜的镜筒应该不断地向北偏移而从第二年的6月到年底，过程正好相反——管道要向南偏移

友情提示:上图信息量很大，值得你仔细品鉴。

由于Hook曾在1674年给出γ—Dra的视差约为23角秒，Bradley预计γ—Dra在南北方向的偏差随时间变化如下。

可是，测量结果让布拉德利感到困惑他没有观察到预期的视差，而是观察到了完全意想不到的东西

换算角度不到21毫秒，比Hook原来给出的值小了三个数量级，几乎相当于一个人站在广州观察黑龙江或新疆的高度布拉德利的望远镜根本看不到

那么，布拉德利发现了什么。

诚然，布拉德利也观测到了γ—Dra高度的变化，但全年的变化与上述视差预期完全不同。他的观察如下

从12月到3月，γ—Dra在子午线上逐渐南移，到3月份，与起始位置的偏差约为20 ″3—6月向北移动回到起始位置，然后从6月到9月，它继续向北移动，直到它最终到达起始位置以北20 ″处，最后，从9月到12月，它再次向南移动，回到它的起始位置

04.恒星像差的解释

布拉德利什么都考虑到了据说有一天，当他乘船在泰晤士河上航行时，他注意到风向没有改变但由于船的航向改变，桅杆上的指示旗方向也随之改变，他顿时明白了

他认为光是来自恒星的粒子流，所以类似于路人在雨中看到的雨滴方向的变化当地球相对恒星运动时，这些光的粒子流的方向也会发生偏移，所以光总是会向地球公转速度的反方向偏转一个角度

是的，布拉德利的思想和本文第二节说的差不多，只不过他是基于光粒子来思考的他把地球绕太阳公转的速度看作是地球相对于恒星的速度，从而得到了像差公式，成为历史上研究和解释像差现象的第一人

布拉德利的光的方向发生偏移的观点，如果从光的以太波的观点来理解，当然会有同样的结果——吹回来的以太风会把从头顶射过来的光吹回来，使之偏转回来，如下图所示。

由于光线的偏转，要观察一颗恒星，必须相应调整灯管的方向，否则它发出的光线无法跟随灯管到达底部如下图所示

因此，为了每天在相应的时间看到γ—Dra，布拉德利不得不调整望远镜光管的方向，使其偏转角与像差角保持一致。

因此，Bradley得到的偏离角随时间的变化图，实际上就是γ—Dra的像差角随时间的变化规律。

Er，γ—Dra的像差角随时间的变化是周期性的，确切的说是一种类似正弦或余弦函数的变化。

那么，这怎么解释呢。

接下来可能更多的是地理或者天文问题。

虽然以太风总是指向地球公转速度的相反方向，但是因为地球公转是弯曲的，地球在自转，所以在地面上感受到的以太风的方向一直在变化对于伦敦的观测者来说，以太风在不同的时间会做出不同的观测

我们来看看12月到3月的情况。

在这段时间里，地球在黄道上的运动方向逐渐由北向西转变，因此吹来的以太风也逐渐由南向东转变。

第一天中午，γ—Dra位于伦敦天顶根据恒星日和太阳日的关系，γ—Dra比前一天提前约3分56秒出现在天顶，直到3月18日早上6点γ—Dra才到达天顶

布拉德利每天这个时候都会观察γ—Dra他的任务是调整望远镜光管的方向，记录恒星的南北赤纬

考虑到地球自西向东自转，在12月至次年3月期间，γ—Dra在子午线上方时，伦敦感受到的以太风开始向东，然后逐渐转向北方。

到3月17日或18日早上6点，此时γ—Dra正好在子午线上方，地球公转速度正好在地面以南所以此时此刻，向北的以太风对γ—Dra的光的速度达到最大，也就是地球的公转速度向北最强的以太风把γ—Dra的光吹向北方，导致γ—Dra的虚像向最南边偏移

提示:考虑到地球的自转和公转都是由西向东，结合前面地球在黄道上运动的画面，可以得出上述规律请慎重考虑

因此，从伦敦看，γ—Dra一开始是向西倾斜的，然后是向南要使望远镜始终看到γ—Dra，光管首先要向西倾斜，偏离程度最大然后偏转角逐渐减小再逐渐向南倾斜，偏转角逐渐增大

如果只关注恒星在特定方向上的偏离，问题就变得简单了布拉德利只记录了γ—Dra在南北方向的运动，即以太风向北吹造成的影响他发现，到3月17日，γ—Dra向南偏离了大约20英寸

如果继续看3—6月这段时间，黄道上的以太风会逐渐由东转北，地球上观测点对应的以太风也会逐渐由北转西由于布拉德利只关注恒星在南北方向的运动，他发现北方的以太风逐渐减弱到零，这使得γ—Dra向南的偏差逐渐减小，直到12月份完全回到原来的位置

下面6—9月和9—12月的过程分析方法是一样的，留给读者去实践。

如果把这四个阶段放在一起看，可以得出γ—Dra在南北方向的偏差呈现出周期性规律，布拉德利的观测结果完全可以理解！

5.布拉德利的贡献

布拉德利提出，他只关注南北方向的恒星偏离如果他也注意到恒星在东西方向的偏离，那么观测就复杂多了他认为，如果将所有偏差都考虑在内，恒星的虚像将在天顶穿过一个圆——确切地说是一个小椭圆

你可能会问:为什么大多数人，包括布拉德利本人，都只关心γ—Dra的南北方向，而不管东西方向的偏离。

由于地球绕南北轴旋转，只有当恒星刚好处于当地子午线上方的小范围内时，才被认为是在天顶，而这一时刻可以通过计算恒星日与太阳日之差来预测，这为观测γ—Dra的像差提供了准确的时间窗口。

换句话说，既然要观测恒星位于子午线正上方时的偏差，那么观测它在这个方向的偏差似乎有点麻烦。

这有点像我们在高中物理学习质量，力和加速度的关系时提到的控制变量法只有固定一个量，才能研究两个外部量之间的关系如果同时改变几个量，你的研究肯定会很麻烦

事实上，根据文献记载，布拉德利缺少一个以恒星日为时间单位的高精度时钟——星钟，否则他可以测量γ—Dra在东西方向的偏差。众所周知，依靠精确的GPS时钟，现在做到这一点不在话下！

当然，如果地球自北向南自转，其他条件不变，布拉德利肯定会选择改为观测恒星在东西方向的偏离因为那样的话，东西方向就成了纬度方向，而南北方向就成了经度方向

Bradley得到的γ—Dra的像差角为20.2″此后，世界各地的天文学家通过观测不同恒星在经度和纬度方向上的偏差，得到了更多的恒星像差角，发现这些值几乎相同

这很好理解，因为这些恒星有一个共同点——都离地球非常远，都位于观测地点的天顶，所以都服从简化的像差角公式。

目前，恒星年像差角的精确值为20.49552″，它既适用于沿子午线的像差角，也适用于沿纬度的像差角。

虽然布拉德利没有观测到恒星视差，但是恒星像差，恒星像差的周期性也是地球绕太阳运动的确凿证据，所以恒星像差为哥白尼的日心说提供了第一个实证。

除了实现上述目标，布拉德利还实现了后来加上的另一个目标——他想证明光速是有限的事实上，他第一次准确地给出了光速凭借这份工作，布拉德利迎来了人生的巅峰，他的名字被永久地记录在了人类科技的史册上

在此之前，丹麦天文学家奥勒·罗默通过观测木星的一颗卫星的日食，给出了一个非常不同的光速值——214000千米/秒。

光速的计算值是301，000千米/秒。

该值与光速标准值299792.458km/s的误差在0.4%以内，说明布拉德利像差理论是可靠的，测量精度比较高。

非常接近万分之一，叫做像差常数，是像差角的正切。

06.其他类型的失常。

这一节主要是为了内容的完整性而写的如果不感兴趣，可以跳过

是地球公转速度的平均值年像差常数是地球公转速度与光速的比值，对应的角度为20.49552″

如果将地球自转考虑在内，就会导致所谓的太阳像差，太阳像差是指恒星光线方向在一天内的偏转角的最大值由于地球自转速度的最大值在赤道约为0.465km/s，这个值比公转速度小两个数量级，对应的角度约为0.319″其中纬度为φ，像差常数为0.319″cosφ

再者，太阳系的运动也会导致像差因为太阳系的运动几乎是恒定的，这种像差在很长一段时间内是恒定的，所以被称为长期像差

长期象差角在人类可观测的时间内是恒定的，即使其值大于年象差角，也不容易看到，因为它对恒星象差的影响是全球一致的所以一般来说，这种像差是被忽略的

07.就这样结束了吗。

经典的像差理论确实已经完成了。好像挺简单的！

可是，100多年后，它不得不受到质疑，因为经典像差包含了一些新的假设比如认为地球不会拖动以太，但是恒星和以太会保持静止

另外，根据光的粒子，光速应该和恒星的速度有关，也就是说，观测不同的恒星，你看到的像差角应该是不同的。

这些问题都困扰着那个时代的天才，于是各种聪明的大脑相继出现，包括阿拉戈，艾里，托马斯·杨，自由灵魂，迈克尔逊，莫雷他们的奇思妙想和奇妙的设计不断激励着人们，直到像差最终被赋予了新的解释，导致了一个奇妙的相对论

对于所有这些后续的实验，反思和相关的历史，本书不会放过任何精彩的细节，循序渐进，稳扎稳打，逐一拆解分析每一个谜团，尽量避免易知，易得，易证，不难寻，明明有，相似有之类的陈词滥调，读者要有清晰的物理思维和历史脉络。

这本书是在这里登陆的。想知道世界上有哪些传说，自然要听下回！

参考

刘觉平，电动力学，北京，高等教育出版社，2004年7月。

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